Calcul des Résidus

Le calcul des résidus est une technique centrale en analyse complexe, particulièrement utile pour évaluer des intégrales complexes autour de singularités. Le **résidu** d’une fonction f en un point singulier z₀ est, en gros, le coefficient a₋₁ dans son développement en série de Laurent autour de z₀. Une astuce efficace est de connaître les formules pratiques selon le type de pôle : pour un pôle simple, le résidu se calcule directement par Res(f, z₀) = lim_z→z₀ (z − z₀)f(z). Pour des pôles d’ordre supérieur, on utilise la dérivation : Res(f, z₀) = 1/(m−1)! × lim_z→z₀ d^m−1/dz^m−1[(z−z₀)^mf(z)]. Une fois les résidus calculés, on applique le **théorème des résidus** pour évaluer l’intégrale : ∮f(z)dz = 2πi × somme des résidus à l’intérieur du contour. C’est une méthode puissante pour résoudre des intégrales réelles à l’aide du plan complexe.