polynome et fraction rationnelle

1. Recherche des racines multiples

Pour identifier les racines multiples d'un polynôme P :

• Calculer le PGCD de P et P' (son polynôme dérivé)
• Les racines du PGCD correspondent aux racines multiples

Exemple : Si P = (X-1)²(X+2), P' = 2(X-1)(X+2)+(X-1)²

2. Méthode de Horner pour l'évaluation

Optimisez le calcul de P(a) avec cette disposition pratique :

Pour P(X) = 2X³ - 3X² + X - 5 en X=2 :
2 | 2 -3 1 -5
| 4 2 6
-------------
2 1 3 1 → P(2) = 1

3. Dérivation logarithmique pour les fractions

Pour dériver F = P/Q efficacement :

1. Calculer ln|F| = ln|P| - ln|Q|
2. Dériver chaque membre : F'/F = P'/P - Q'/Q
3. En déduire F' = F × (P'/P - Q'/Q)

Particulièrement utile pour les puissances complexes !

4. Masquage dans la décomposition en éléments simples

Pour trouver rapidement le coefficient A du terme A/(X-a) :

A = [(X-a)F(X)] évalué en X=a

Cette astuce évite de résoudre un système complet d'équations.