Nombres complexes

1. Calcul rapide des puissances de i

Les puissances de i sont cycliques :

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1
• Puis le cycle se répète

Pour calculer iⁿ, chercher le reste de n modulo 4.

2. Forme exponentielle simplifiée

Tout complexe peut s'écrire z = re^iθ où :

• r = |z| (module)
• θ = arg(z) (argument)

Cette forme simplifie les multiplications et divisions.

3. Racines n-ièmes d'un complexe

Pour trouver les racines n-ièmes de z = re^iθ :

Les solutions sont : r^(1/n)e^i(θ+2kπ)/n pour k = 0,1,...,n-1

Elles forment un polygone régulier dans le plan complexe.

4. Passage algébrique ↔ trigonométrique

Pour convertir a + ib en forme trigonométrique :

• r = √(a² + b²)
• θ = arctan(b/a) [en ajustant selon le quadrant]