Théorie des Probabilités

Les probabilités étudient les phénomènes aléatoires et permettent de quantifier l'incertitude.

Concepts fondamentaux

• Expérience aléatoire: Expérience dont le résultat est incertain
• Événement: Ensemble de résultats possibles
• Probabilité: Mesure de la chance qu'un événement se réalise (P ∈ [0,1])

Approches probabilistes

• Approche fréquentiste
• Approche classique (équiprobabilité)
• Approche subjective
• Approche axiomatique (Kolmogorov)

Calcul des Probabilités

Probabilités élémentaires

• P(A) = Nombre cas favorables / Nombre cas possibles
• P(Ā) = 1 - P(A) (probabilité complémentaire)

Probabilités composées

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) (probabilité conditionnelle)

Indépendance

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Formule de Bayes

P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

Lois de Probabilité Classiques

Lois discrètes

• Bernoulli: X ~ B(p) (1 succès, 0 échec)
• Binomiale: X ~ B(n,p) (n répétitions de Bernoulli)
• Poisson: X ~ P(λ) (événements rares)
• Géométrique: Nombre d'essais jusqu'au premier succès

Lois continues

• Uniforme: X ~ U(a,b) (toutes valeurs équiprobables)
• Normale: X ~ N(μ,σ²) (loi en cloche)
• Exponentielle: X ~ Exp(λ) (durée de vie sans vieillissement)

Théorèmes Fondamentaux

Loi des grands nombres

La moyenne empirique converge vers l'espérance quand n → ∞

Théorème central limite

La somme de n v.a. iid tend vers une loi normale quand n → ∞

Inégalités

• Markov: P(X ≥ a) ≤ E[X]/a (a > 0)
• Bienaymé-Tchebychev: P(|X-E[X]| ≥ ε) ≤ V(X)/ε²

Applications des Probabilités

Sciences et ingénierie

• Fiabilité des systèmes
• Théorie des files d'attente
• Physique statistique

Finance et économie

• Calcul des risques
• Modèles de pricing
• Théorie des jeux

Intelligence artificielle

• Réseaux bayésiens
• Algorithmes probabilistes
• Apprentissage automatique

Vie quotidienne

• Calcul des risques (assurances)
• Prévisions météo
• Jeux de hasard