Réduction des Endomorphismes

Objectifs de la réduction

Simplifier l'étude d'un endomorphisme en le représentant dans une base adaptée.

Problématique

Pour un endomorphisme f ∈ L(E), trouver une base B de E telle que :

Mat_B(f) soit la plus simple possible (diagonale ou triangulaire)

Applications

• Calcul des puissances de matrices
• Résolution de systèmes différentiels
• Analyse de stabilité

Éléments Propres

Valeurs propres

λ ∈ K est valeur propre de f s'il existe v ≠ 0 tel que f(v) = λv

Vecteurs propres

v ∈ E est vecteur propre si ∃λ ∈ K tel que f(v) = λv

Sous-espaces propres

E_λ = Ker(f - λId) = {v ∈ E | f(v) = λv}

Polynôme caractéristique

χ_f(X) = det(f - XId) permet de trouver les valeurs propres