Topologie de Rⁿ : Espaces vectoriels normés

Les espaces vectoriels normés sont des espaces vectoriels où une norme est définie, ce qui permet de mesurer la "taille" ou la "distance" des vecteurs. La norme induit une topologie sur l’espace, ce qui permet d’analyser les concepts de convergence, de continuité, et de compacité dans cet espace. Une norme courante dans Rⁿ est la norme Euclidienne, définie par ||x|| = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²) pour un vecteur x = (x₁, x₂, ..., xₙ). Une astuce clé est de bien comprendre le lien entre la norme et la topologie : deux suites convergent dans un espace normé si et seulement si elles sont de Cauchy et qu’elles respectent la définition de la norme. Il est également important de maîtriser les propriétés des espaces normés, comme la continuité des applications linéaires entre espaces normés, et la notion de complétude, où un espace normé complet est un espace de Banach. Les théorèmes importants, comme le théorème de Banach-Steinhaus ou le théorème de Banach, sont également essentiels pour l’étude des espaces vectoriels normés dans Rⁿ.